Descriptif

Ce cours constitue la suite du cours de David Renard « Groupes, anneaux, modules et représentations » (MAT556), mais en se plaçant dans une optique plus géométrique et analytique qu’algébrique. La connaissance du cours MAT556 paraît indispensable et celle de « Variétés différentielles, fibrés et formes » (MAT553) pourra être utile.

L’étude des groupes de matrices compacts permet à la fois d’illustrer la théorie générale des représentations mais également de la raffiner en obtenant une classification complète des représentations irréductibles. Cette théorie est centrale aussi bien en arithmétique qu’en physique.

Nous commencerons par étudier la théorie générale des représentations des groupes compacts. Une fois acquise l’existence de la mesure de Haar, cette théorie est complètement parallèle à celle des représentations des groupes finis telle qu'elle a été abordée dans le cours MAT556. En effet, la mesure permet de moyenner des fonctions sur le groupe, phénomène à l’origine de toutes les propriétés agréables des représentations des groupes compacts.

Toutefois, on peut dans certains cas aller beaucoup plus loin et obtenir une classification précise des représentations irréductibles. Nous donnerons l’exemple des deux groupes compacts non abéliens les plus simples, à savoir le groupe spécial unitaire SU₂(ℂ) et le groupe spécial orthogonal SO₃(ℝ), qui sont presque les mêmes. Nous présenterons des applications à la théorie des représentations des groupes non compacts SL₂(ℝ) et SL₂(ℂ).

Nous aborderons ensuite la théorie des groupes et des algèbres de Lie comme outil pour la théorie des représentations. Un groupe de Lie n’est autre qu’un groupe de matrices, et son algèbre de Lie est son plan tangent en l’origine. Les algèbres de Lie capturent donc des phénomènes au premier ordre. Permettant de linéariser la théorie des groupes, elles sont omniprésentes en mathématiques et en physique. Nous introduirons surtout du vocabulaire nécessaire pour la suite : caractères et systèmes de racines. Nous définirons enfin les groupes de Lie compacts, comme par exemple SO_n(ℝ) et SU_n(ℂ), et classifierons complètement leurs représentations irréductibles.

Bibliographie

[BD] T. Bröcker et T. tom Dieck, Representations of compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 98, Springer.

[D] J. F. Dat, Cours introductif de M2 « Groupes et algèbres de Lie », notes de cours disponibles sur https://webusers.imj-prg.fr/~jean-francois.dat/enseignement/GAL/GALM2.pdf

[Ki] A. Kirillov, An introduction to Lie groups and Lie algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 113.

[Ko] E. Kowalski, An introduction to representation theory, Graduate Studies in Mathematics 155, American Mathematical Society.

[M] F. Murnaghan, Representations of locally compact group, Fall 2013, notes de cours disponibles sur http://www.math.toronto.edu/murnaghan/courses/mat1196/rnotes.pdf

[S] M. Sepanski, Compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 235, Springer.

 
Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5