Descriptif

Théorie des nombres

La théorie des nombres fascine par la simplicité de ses énoncés et l'imprévisibilité de ses solutions. De fait, la théorie des nombres utilise des techniques provenant de quasiment toutes les branches des mathématiques et il y a presque une branche de la théorie des nombres par branche des mathématiques avec des passerelles (ou des autoroutes) permettant de passer d'une branche à l'autre.

Par exemple, le grand théorème de Fermat (un cube n'est pas somme de deux cubes, et plus généralement une puissance n-ième n'est pas somme de deux puissances n-ièmes), énoncé vers 1650, nécessita pour sa résolution les efforts combinés d'un nombre impressionnant de mathématiciens durant près de quatre siècles. Sa solution définitive en 1994, par les travaux de Ribet, Wiles et Taylor, court sur plus de deux cents pages d'articles de recherche qui eux-mêmes reposent sur quelques milliers de pages empruntés à diverses branches des mathématiques (fonctions d'une variable complexe, théorie des représentations, analyse harmonique, géométrie algébrique...).

Dans la même veine, le problème des nombres congruents (quels sont les nombres entiers qui sont l'aire d'un triangle rectangle à cotés de longueur rationnelle) remonte au moins au 10-ième siècle, et il a fallu attendre 1983 pour que Tunnell donne un critère simple pour qu'un nombre ne soit pas congruent et, modulo la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (un des problèmes à un million de dollar), pour qu'il soit congruent.

Dans un genre différent, la répartition des nombres premiers regorge de conjectures en tous genres. Le théorème des nombres premiers (donnant une formule asymptotique pour le nombre de nombres premiers), entrevu par Euler, ne fut démontré qu'en 1896, en utilisant la théorie des fonctions holomorphes et plus spécifiquement les propriétés de la fonction zêta de Riemann dans le plan complexe. L'hypothèse de Riemann, formulée en 1858 (un autre problème à un million de dollar), et qui a des conséquences profondes sur la répartition des nombres premiers, a résisté jusqu'à ce jour aux assauts répétés des mathématiciens. Bien malin qui peut prétendre savoir d'où viendra la solution.

Green et Tao ont démontré en 2004 que l'ensemble des nombres premiers contient des progressions arithmétiques de longueur arbitraire résolvant ainsi une très vieille question. Leur démonstration combine des idées probabilistes et d'autres venant de la théorie ergodique.

On conjecture (conjecture abc) que si a+b=c, où a,b,c sont des nombres entiers premiers entre eux, alors c ne peut pas être beaucoup plus gros que le produit des nombres premiers divisant le produit abc. Une démonstration permettrait de déterminer (en principe) les solutions en nombres rationnels de la plupart des équations en deux variables.
Les attaques actuelles reposent sur la géométrie d'Arakelov qui combine de la théorie algébrique des nombres classique, de la géométrie algébrique et de l'analyse fine sur les variétés.

Les problèmes ci-dessus donnent une petite idée de la diversité des questions qui se posent, mais ne recouvrent pas, loin s'en faut, la totalité des champs abordés par la théorie des nombres (il manque, entre autres, la théorie des nombres transcendants, les questions algorithmiques, les applications à la cryptographie...).

Langue du cours : Français