Descriptif
La théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints en dimension infinie est étonnamment plus subtile que celle des matrices hermitiennes en dimension finie. Pourtant, de nombreux problèmes physiques ou mécaniques se ramènent à la résolution d'un problème aux valeurs propres dont l'inconnue est une fonction, ou à une équation aux dérivées partielles linéaire qui peut être étudiée avec des méthodes spectrales. Développée par Hilbert à la fin du 19ème siècle, la théorie spectrale a connu une envolée après la construction de la mécanique quantique et de l'équation de Schrödinger dans les années 1920-30, avec en particulier les travaux de Stone et de Von Neumann. Dans ce cours, nous verrons les bases de la théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints en dimension infinie, et nous donnerons quelques applications choisies à la mécanique quantique, avec une attention particulière aux opérateurs décrivant les atomes et les molécules.
Bibliographie
Polycopié en français distribué aux élèves
M. Lewin, Théorie spectrale et mécanique quantique, Série Mathématiques et Applications (SMAI), Springer International Publishing, 2022
B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge Univ. Press, 1995
M. Reed, B. Simon, /Methods of Modern Mathematical Physics. Volumes I, II et IV/. Academic Press, 1978.
Niveau requis
- éléments d’analyse de Fourier et de la théorie des distributions
- des connaissances préalables en mécanique quantique pourront aider, mais ne sont pas nécessaires pour suivre le cours
Langue du cours : Français
Diplôme(s) concerné(s)
- Programmes d'échange internationaux
- M1 Mathématiques Jacques Hadamard
- Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Parcours de rattachement
Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux
Prérequis : - éléments d’analyse de Fourier et de la théorie des distributions - des connaissances préalables en mécanique quantique pourront aider, mais ne sont pas nécessaires pour suivre le cours
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Prérequis : - éléments d’analyse de Fourier et de la théorie des distributions - des connaissances préalables en mécanique quantique pourront aider, mais ne sont pas nécessaires pour suivre le cours
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade réduitPour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux
Vos modalités d'acquisition :
Devoir maison et examen écrit de 3h.
Note finale = maximum entre EXAM et (2*EXAM+DM)/3
- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Pour les étudiants du diplôme M1 Mathématiques Jacques Hadamard
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Vos modalités d'acquisition :
Devoir maison et examen écrit de 3h.
Note finale = maximum entre EXAM et (2*EXAM+DM)/3
- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Programme détaillé
Contenu du cours :
- auto-adjonction, exemples et contre-exemples
- spectre(s)
- théorie de Rellich-Kato et de Weyl
- théorème spectral et calcul fonctionnel
- formes quadratiques, théorèmes de Lax-Milgram et Riesz-Friedrichs
- équation de Schrödinger
- Laplacien sur un ouvert borné et conditions au bord
- opérateurs de Schrödinger pour une particule, oscillateur harmonique, atome d'hydrogène
- propriétés spectrales des opérateurs décrivant plusieurs particules
- atomes et molécules
- atomes lourds et limite semi-classique
Bibliographie :
B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge Univ. Press, 1995.
M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics. IV. Analysis of operators, Academic Press, 1978.
E.H. Lieb, R. Seiringer, The Stability of Matter in Quantum Mechanics, Cambridge Univ. Press, 2010.
É. Cancès, C. Le Bris, Y. Maday, Méthodes mathématiques en chimie quantique, une introduction, Springer, 2006.
