Descriptif
La mécanique quantique a conduit à l’émergence de nouveaux concepts de divers domaines mathématiques (en analyse : espaces de Hilbert formalisés par von Neumann ; en algèbre : théorie des représentations suivant Cartan et Weyl). En retour, ces concepts ont permis de meilleures formalisations en physique fondamentale, ainsi que des découvertes importantes, comme par exemple le modèle standard des particules élémentaires (Glashow, Weinberg, Salam). Pour cet EA, les mathématiques considérées relèveront de la théorie des groupes et la physique visée sera essentiellement celle de l'infiniment petit.
En physique, que ce soit au niveau classique ou quantique, l'analyse des symétries d'un système permet de simplifier son étude car celles-ci impliquent en général l’existence de quantités conservées, de règles de sélection, etc. Les groupes de symétrie en jeu font partie des outils quotidiens de nombreux domaines de la physique fondamentale. Certaines subtilités mathématiques de théorie abstraite des groupes s’incarnent de façon frappante en physique : par exemple, la différence entre les groupes SU(2) et SO(3) correspond à l’existence de particules de spin demi-entier, objets qui n'ont pas d'interprétation classique. Des extensions de groupes orthogonaux, les groupes de Lorentz et de Poincaré, s’interprètent comme groupes de symétrie des systèmes physiques relativistes. Il se trouve que les groupes unitaires, SU(2) ainsi que U(1) et SU(3), apparaissent aussi comme des groupes de symétrie "interne" des particules élémentaires : cette découverte a conduit à la formulation du modèle standard de la physique des particules mentionné ci-dessus. Cette théorie classifie les briques élémentaires de la matière et décrit leurs interactions, et ses nombreuses prédictions ont passé tous les tests expérimentaux jusqu'à ce jour.
La notion mathématique de représentation linéaire d’un groupe est centrale en mécanique quantique, et est une belle illustration de l’interaction entre mathématique et physique qu’on se propose de présenter : c’est une notion qui pré-existait à la mécanique quantique, mais les directions dans lesquelles elle s’est développée ont parfois été très fortement déterminées par des considérations physiques (E. Wigner). C’est dans cet esprit que seront présentés les rudiments de cette théorie (diagrammes de poids, caractère de représentations, tableaux et diagrammes de Young).
Les séances sont animées alternativement par un enseignant mathématicien et un enseignant physicien.
En parallèle à l'enseignement, les élèves préparent un projet bibliographique sur un sujet de leur choix, donnant lieu à la rédaction d'un mémoire et à une soutenance orale en fin de période.
Langue du cours : Français ou anglais, selon le public
Objectifs pédagogiques
Acquisition de connaissances dans le domaine des groupes de symétrie. Apprentissage de la rédaction d'un mémoire et entraînement à la soutenance orale.
effectifs minimal / maximal:
/18Diplôme(s) concerné(s)
- Programmes d'échange internationaux
- M1 Physique
- M1 Mathématiques Jacques Hadamard
- M1 Physique des Hautes Energies
- M2 Physique des Hautes Energies
- Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Parcours de rattachement
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade réduitPour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Vos modalités d'acquisition :
L'examen prend la forme d'un rendu de mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
L'UE est acquise si note finale transposée >= C
-
Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Pour les étudiants du diplôme M1 Physique
Vos modalités d'acquisition :
L'examen prend la forme d'un rendu de mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
L'UE est acquise si note finale transposée >= C
-
Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux
Vos modalités d'acquisition :
PEI
L'examen prend la forme d'un rendu de mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
L'UE est acquise si note finale transposée >= C
-
Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Pour les étudiants du diplôme M1 Physique des Hautes Energies
Vos modalités d'acquisition :
L'examen prend la forme d'un rendu de mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
L'UE est acquise si note finale transposée >= C
-
Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Pour les étudiants du diplôme M1 Mathématiques Jacques Hadamard
Vos modalités d'acquisition :
L'examen prend la forme d'un rendu de mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
L'UE est acquise si note finale transposée >= C
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Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Pour les étudiants du diplôme M2 Physique des Hautes Energies
Pour les étudiants du diplôme M1 Physics by Research
Vos modalités d'acquisition :
L'examen prend la forme d'un rendu de mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
L'UE est acquise si note finale transposée >= C
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Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Pour les étudiants du diplôme M1 Mathématiques et Applications - Voie Jacques Hadamard - École Polytechnique
Vos modalités d'acquisition :
L'examen prend la forme d'un rendu de mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
L'UE est acquise si note finale transposée >= C
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Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS