Descriptif
The central object of the course are complex functions of the complex variable. We will study the notion of complex differentiability, also known as holomorphicity, and the main properties of holomorphic functions. In particular, we will see that
- the integral of a holomorphic function along closed curves is always 0
- holomorphic functions are infinitely many times differentiable
- holomorphic functions that coincide on any arbitrarily small disc in an open connected set coincide on the full set.
It will be clear pretty soon that complex-differentiability is a much stronger requirement than the usual differentiability with respect to real variables.
We will also study the different singularities a complex function of the complex variable might have, the famous residue formula and its applications.
Diplôme(s) concerné(s)
Parcours de rattachement
- Bachelor en sciences - S5 - Double spécialité Mathématiques et Physique
- Bachelor en Sciences - S5 - Double spécialité Mathématiques et Informatique
- Bachelor of Sciences de l'Ecole Polytechnique - Bachelor 3A
- Bachelor en sciences - S5 - Double spécialité Mathématiques et Économie
- Bachelor en sciences - S5 - Double spécialité Mathématiques et Économie - Mineure en Biologie
- Bachelor en sciences - S5 - Double spécialité Mathématiques et Physique - Mineure en Chimie
- Bachelor en sciences - S5 - Double spécialité Mathématiques et Physique - Mineure en Biologie
- Bachelor en sciences - S5 - Double spécialité Mathématiques et Économie - Mineure en Chimie
- Bachelor en Sciences-S5-Double specialite Mathematiques et Informatique - Mineure en Chimie
- Bachelor en Sciences-S5-Double specialite Mathematiques et Informatique - Mineure en Biologie
- Bachelor en sciences - S5 - Double spécialité Mathématiques et Économie - Mineure en Informatique
Pour les étudiants du diplôme Bachelor of Science de l'Ecole polytechnique
Vous devez avoir validé l'équation suivante : UE FMA_2F002_EP
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade américainPour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux
Pour les étudiants du diplôme Bachelor of Science de l'Ecole polytechnique
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée écrêtée à une note seuil de 10)- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Programme détaillé
This course will cover the following topics:
- Holomorphic functions: definitions and first properties
- Cauchy-Riemann equations and complex differentiability
- Integration over paths
- Cauchy integral formula
- Liouville's theorem
- Zeros of holomorphic functions
- Analytic continuation
- The maximum principle
- Meromorphic functions
- The complex logarithm
- Sequences, series and products of holomorphic functions