Descriptif
Ce cours entend fournir les bases de l’analyse fonctionnelle aussi bien en amont des applications aux équations aux dérivées partielles (équations elliptique, paraboliques ou hyperboliques), qu’en amont des applications aux algèbres d’opérateurs.
L’objectif du cours est de donner un panorama assez général de l’étude des espaces de Banach et des opérateurs entre espaces de Banach.
Le cours commence par des considérations géométriques : étude des convexes, Théorème de Helly, Théorème de séparation des convexes de Hahn-Banach, Théorème de Krein-Milman.
Puis, il se poursuit par l’étude des théorèmes qui forment le socle de l’analyse fonctionnelle : Lemme de Baire, Théorème de Banach-Steinhaus, Théorème de l’application ouverte et Théorème du graphe fermé.
Nous ouvrons ensuite un chapitre important sur l’étude des topologies faibles et des topologies faibles∗, ce qui nous amènera à l’énoncé du Théorème de Banach-Alaoglu (qui permet de “récupérer" un peu de compacité dans les espaces de dimension infinie).
Après nous être un peu égarés dans l’étude des espaces de Banach, nous verrons dans quelle mesure les espaces “réflexifs” et les espaces “séparables” constituent une classe intéressante d’espaces de Banach, qui jouissent de propriétés agréables.
Le chapitre suivant est consacré à l’étude des algèbres de Banach qui unifient sous une même bannière plusieurs cas particuliers que vous avez peut-être déjà vus (par exemple, l'exponentielle d'une matrice ou d'un endomorphisme). Ce chapitre culmine avec la preuve en trois lignes (mais qui nécessite d’avoir compris les 10 pages précédentes !) d’un beau résultat concernant les séries de Fourier.
Le cours se poursuit avec l’étude du spectre des opérateurs avec en particulier l’alternative de Fredholm, le spectre des opérateurs compacts pour terminer avec l’étude des opérateurs de Fredholm, qui généralisent en dimension infinie, les résultats que vous connaissez bien sur les applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie.
Enfin, le dernier chapitre du cours est consacré aux opérateurs non-bornés et à l'analyse des semi-groupes d'opérateurs qui sont le point de départ de l'étude de nombreuses équations d'évolution. Dans ce cadre, nous démontrerons le Théorème de Hille-Yosida (ou plutôt une de ses versions connue sous le nom de Théorème de Lumer-Phillips) qui donne des conditions suffisantes pour qu'un opérateur soit le générateur infinitésimal d'un semi-groupe d'opérateurs.
Langue du cours : Français
Polycopié : Anglais
Objectifs pédagogiques
Ce cours entend fournir les bases de l’analyse fonctionnelle aussi bien en amont des applications aux équations aux dérivées partielles (équations elliptique, paraboliques ou hyperboliques), qu’en amont des applications aux algèbres d’opérateurs.
Diplôme(s) concerné(s)
Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux
Vous devez avoir validé l'équation suivante : UE FMA_41031_EP
Topologie des espaces vectoriels normés : compacité et complétude. Applications linéaires continues entre espaces de dimensions infinies.
Pour les étudiants du diplôme Non Diplomant
Topologie des espaces vectoriels normés : compacité et complétude. Applications linéaires continues entre espaces de dimensions infinies.
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Topologie des espaces vectoriels normés : compacité et complétude. Applications linéaires continues entre espaces de dimensions infinies.
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade réduitPour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux
Vos modalités d'acquisition :
Devoirs hebdomadaires et examen final écrit de 3 heures. Le polycopié est autorisé lors de l'examen final. La note finale tient compte des notes aux deveoirs hebdomadaires et de la note à l'examen final.
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Le coefficient de l'UE est : 10
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
La note obtenue est classante.
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Vos modalités d'acquisition :
Devoirs hebdomadaires et examen final (contrôle classant) écrit de 3 heures. Le polycopié est autorisé lors de l'examen final. La note finale tient compte des notes aux deveoirs hebdomadaires et de la note à l'examen final.
Le rattrapage est autorisé- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Le coefficient de l'UE est : 10
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
La note obtenue est classante.
Pour les étudiants du diplôme Non Diplomant
Vos modalités d'acquisition :
Devoirs hebdomadaires et examen final écrit de 3 heures. Le polycopié est autorisé lors de l'examen final. La note finale tient compte des notes aux deveoirs hebdomadaires et de la note à l'examen final.
Programme détaillé
1.1 Topological Spaces
1.2 Sequences in Topological Spaces
1.2 Compactness
2.1 Convex Sets.
2.2 Convex Hull
2.3 Helly’s Theorem
3.1 The Hahn-Banach Theorem (Analytic Form)
3.2 The Topological Dual of a Normed Vector Space
4.1 Topological Vector Spaces
4.2 Seminorms
4.3 Locally Convex Topological Vector Spaces
5.1 Hahn-Banach Theorem (Geometric Form)
7.1 Ascoli'-Arzela's Theorem
7.2 Baire’s Lemma
7.3 Banach-Steinhaus’ Theorem
7.4 Open Mapping Theorem and Closed Graph Theorem
7.5 Topological Complement
8.1 The Weak Topology
8.2 Weak Topology and Normed VectorSpaces
8.3 Weak-∗ Topology
8.4 Banach-Alaoglu’s Theorem
9.1 Reflexive Spaces
9.2 Separable Spaces
9.3 Weakly Convergent Sequences
9.4 Consequences of Banach-Alaoglu’s Theorem
10.1 Banach Algebras
10.2 Calculus in Banach Algebras
10.3 The Spectrum.
10.4 Riez Projectors.
10.5 Ideals and Characters
10.6 Quotient Algebras
11.1 The Algebra of Continuous Functions Over a Compact
11.2 Wiener’s Algebra
11.3 Gelfand Transform
12.1 Adjoint
12.2 Compact Operators
12.3 Fredholm’s Alternative
12.4 TheSpectrum of Compact Operators
12.5 The Spectrum of Compact Self-Adjoint Operators
14.1 Adjoint
14.2 Unbounded Operators
14.3 Dissipative Operators
14.4 Strongly Continuous Semi-Groups of Operators
14.5 Hille-Yosida’s (or Lumer-Phillips) Theorem