Descriptif

Un espace de Hilbert gaussien est un espace vectoriel constitué de variables aléatoires construites à partir de gaussiennes centrées. Ils possèdent une structure riche et constituent le socle de nombreuses théories probabilistes, telles que l'intégration stochastique (par exemple, l'intégration d'Itô). Ces espaces ont un aspect probabiliste mais aussi analytique à travers la théorie des espaces de Hilbert. De fait, il existe souvent une transcription de propriétés d'espaces gaussiens en propriétés d'espaces de Hilbert et vice versa, ce qui donne au point de vue original des espaces gaussiens des répercussions non triviales en analyse. Il existe également un parallèle entre les espaces gaussiens et les objets de la théorie quantique des champs, par exemple les espaces de Fock.

Dans cet EA, on commencera par définir la notion de gaussiennes, en particulier sur des espaces de Hilbert séparables. On définira ensuite et on donnera les premières propriétés des espaces gaussiens afin d'arriver rapidement au théorème de décomposition en chaos de Wiener, puis à la définition du produit de Wick. On présentera par la suite le lien entre les espaces gaussiens et les produits symétriques d'espaces de Hilbert. Enfin, on définira l'intégrale d'Itô de façon classique, avant de l'interpréter en termes d'espaces de Hilbert gaussiens, puis on étendra l'intégrale d'Itô à des processus non-adaptés, ce qui constitue l'intégrale de Skorohod.

L'EA consiste en un cours de 2h par semaine. 

En parallèle à l'enseignement, les élèves préparent un projet bibliographique sur un sujet de leur choix, donnant lieu à la rédaction d'un mémoire et à une soutenance orale en fin de période.

Niveau requis

Des éléments d'analyse hilbertienne et de théorie des probabilités aideront à la compréhension des concepts abordés.

Bibliographie

Svante Janson "Gaussian Hilbert Spaces"

Langue du cours : français ou anglais selon la demande