Descriptif
Le cours a pour objet la mécanique des solides dans le cadre général des mileux continus déformables en trois dimensions d’espace. Il s’appuie sur des notions de lois de conservation, d'équations du mouvement, de cinématique en grandes déformations, de lois de comportement en particulier en domaine élastique, de problèmes aux limites et de méthodes énergétiques. Comme ce sera démontré en cours sur de nombreux exemples, ces outils permettent d’analyser et de concevoir des structures complexes, constituées de matériaux divers, et d’intérêt industriel, médical ou environnemental.
Plusieurs aspects sont plus particulièrement considérés :
– la description des efforts qui génèrent le mouvement des milieux continus tridimensionnels, avec l’introduction de la notion de contraintes et l’écriture des équations globales qui les régissent ;
– le lien local entre efforts intérieurs et déformations, et la description de ces déformations ;
– l’introduction des comportements élastiques élémentaires qui permet de compléter la modélisation en introduisant les relations de comportement traduisant pour un matériau donné en régime élastique le lien local entre déformations et efforts ;
– la formulation et la résolution de problèmes d’équilibre élastique, avec ouverture sur les méthodes variationnelles et numériques ;
- une première présentation des problèmes de flambement et de vibrations dans les structures élastiques.
Document écrit/Textbooks:
- Patrick Le Tallec (2023) Mécanique des Solides https://moodle.polytechnique.fr/course/view.php?id=14794
Autre bibliographie utile/Other useful references:
- W. OGDEN (1997). Non-Linear Elastic Deformations. Dover.
- E. GURTIN (2003). An Introduction to Continuum Mechanics. Mathematics in Science and Engineering, Vol 158.
- LOPEZ-PAMIES (2021). The Mechanics of Solids. Editions de l'Ecole Polytechnique.
- TRUESDELL, W. NOLL (2004). The Non-Linear Field Theories of Mechanics. Third Edition, Springer.
- LE TALLEC (2009). Modélisation et Calcul des Milieux Continus. Editions de l'Ecole Polytechnique.
Synopsis : Le cours sera organisé en 10 leçons. Il sera enseigné en français, et les petites classes seront au choix de l’étudiant soit en anglais soit en français.
Objectifs pédagogiques
Comprendre et savoir formaliser les notions d’efforts et de déformations pour un milieu continu tridimensionnel. Pour les contraintes, savoir écrire et manipuler les équations du mouvement en 3D cartésien et en axisymétrique.
Connaitre les lois de comportement d’un solide élastique isotrope.
Savoir poser et résoudre un problème d’élasticité en petites et grandes déformations par la méthode des déplacements et par la méthode de Ritz.
Savoir interpréter et valider les résultats.
Comprendre les problèmes de flambement et de vibrations de structures élastiques.
Diplôme(s) concerné(s)
Parcours de rattachement
Pour les étudiants du diplôme M1 Mechanics
Prérequis : Aucun prérequis n’est necessaire, si ce n’est une culture de base en calcul différentiel et en algèbre linéaire. Le cours de Mécanique des Milieux Déformables (MEC430) n’est pas un prérequis, mais facilite la compréhension.
Pour les étudiants du diplôme Echanges PEI
Prérequis : Aucun prérequis n’est necessaire, si ce n’est une culture de base en calcul différentiel et en algèbre linéaire. Le cours de Mécanique des Milieux Déformables (MEC430) n’est pas un prérequis, mais facilite la compréhension.
Pour les étudiants du diplôme Non Diplomant
Prérequis : Aucun prérequis n’est necessaire, si ce n’est une culture de base en calcul différentiel et en algèbre linéaire. Le cours de Mécanique des Milieux Déformables (MEC430) n’est pas un prérequis, mais facilite la compréhension.
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Prérequis : Aucun prérequis n’est necessaire, si ce n’est une culture de base en calcul différentiel et en algèbre linéaire. Le cours de Mécanique des Milieux Déformables (MEC430) n’est pas un prérequis, mais facilite la compréhension.
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade réduitPour les étudiants du diplôme Non Diplomant
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Vos modalités d'acquisition :
Rendus des étudiants : QCM hebdomadaire, deux rapports de mise en œuvre en groupe, un examen final.
Notation
Le contrôle des connaissances est effectué en contrôle continu au cours des petites classes et au moyen de l’examen final. La notation littérale (note de synthèse) du module est établie sur la base de la note d’examen (2/3) et de la note de petite classe donnée par le professeur chargé de cours de petite classe (1/3). La note de petite classe prend en compte participation, réponses au QCM, niveau, pertinence des interventions, dossiers de mise en œuvre. Des points peuvent être retirés de la note de PC en cas d’absences répétées.
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Le coefficient de l'UE est : 10
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
La note obtenue est classante.
Pour les étudiants du diplôme Echanges PEI
Vos modalités d'acquisition :
Rendus des étudiants : QCM hebdomadaire, deux rapports de mise en œuvre en groupe, un examen final.
Notation
Le contrôle des connaissances est effectué en contrôle continu au cours des petites classes et au moyen de l’examen final. La notation littérale (note de synthèse) du module est établie sur la base de la note d’examen (2/3) et de la note de petite classe donnée par le professeur chargé de cours de petite classe (1/3). La note de petite classe prend en compte participation, réponses au QCM, niveau, pertinence des interventions, dossiers de mise en œuvre. Des points peuvent être retirés de la note de PC en cas d’absences répétées.
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
La note obtenue est classante.
Pour les étudiants du diplôme M1 Mechanics
Vos modalités d'acquisition :
Rendus des étudiants : QCM hebdomadaire, deux rapports de mise en œuvre en groupe, un examen final.
Notation
Le contrôle des connaissances est effectué en contrôle continu au cours des petites classes et au moyen de l’examen final. La notation littérale (note de synthèse) du module est établie sur la base de la note d’examen (2/3) et de la note de petite classe donnée par le professeur chargé de cours de petite classe (1/3). La note de petite classe prend en compte participation, réponses au QCM, niveau, pertinence des interventions, dossiers de mise en œuvre. Des points peuvent être retirés de la note de PC en cas d’absences répétées.
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 3 ECTS
Programme détaillé
Le Milieu Continu. Le tenseur des contraintes de Cauchy. Configuration actuelle. Vecteur contrainte. Lois de conservation. Théorème de Cauchy. Symétrie
Les contraintes et les équations du mouvement. Interprétation microscopique des contraintes. Effort normal et cisaillement. Cercle de Mohr. Obtention des équations d’équilibre.
Analyse limite et comportement. Complément sur les équations d’équilibre. Relations de saut. Critère de rupture. Chargement potentiellement supportable. Besoin de loi de comportement.
Calcul des déformations. Tenseur des déformations, allongement et cisaillement. Mesure des déformations.
Thermoélasticité isotrope en petites déformations. Expérience de traction simple. Module de Young. Coefficient de Poisson. Superposition. Résistance au cisaillement. Dilatation thermique. Loi de Hooke.
De la loi de Hooke à l’élasticité générale. Lien contrainte énergie libre en grandes déformations. Loi hyperélastique. Exemples de lois. Application aux élastomères.
Problèmes d’équilibre élastique en grands déplacements. Exemple du bulge test. Conditions aux limites. Construction d’un problème d’équilibre. Méthode des déplacements avec exemple.
Méthodes variationnelles. Minimisation d’énergie et méthodes des éléments finis. Petites transformations autour d’un équilibre : Le problème d’une réponse à une perturbation. Ecriture du cadre élastique linéaire avec précontrainte (en configuration de référence).
Vibrations et Stabilité. Modes propres. Calcul de la réponse dynamique à une perturbation. Flambement.