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Cours courts - MAT451 : Algèbre et Théorie de Galois

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

La théorie de Galois est née au XIX ème siècle pour étudier l'existence de formules pour les solutions d'une équation polynômiale (en fonction des coefficients de l'équation). Cette théorie, à la fois puissante et élégante, fut à l'origine d'un pan entier de l'algèbre moderne, et a depuis connu un développement considérable. Elle demeure un sujet de recherche extrêmement actif.

L'objet de ce cours est dans un premier temps d'introduire les bases et outils d'algèbre générale (groupes, anneaux, algèbres, quotients, extensions de corps...) qui permettront dans un deuxième temps de développer la théorie de Galois, ainsi que certaines de ses applications les plus remarquables.

Au delà de l'intérêt propre du sujet, le cours se veut être une bonne introduction à l'algèbre et à ses diverses applications, tant en mathématiques que dans d'autres disciplines (informatique avec les corps finis, physique ou chimie avec la théorie des groupes par exemple).

* les pré-requis :
Algèbre linéaire classique enseigné en classes préparatoires ou pendant deux premières années d'université.

* les acquis attendus en fin de module
Acquis théoriques :

- Connaissance des structures fondamentales de l'algèbre générale.
- Compréhension des concepts fondamentaux de la théorie de Galois (extensions galoisiennes, groupes de Galois)
- Maîtrise des exemples les plus importants (corps finis, extensions cyclotomiques, extensions résolubles).
- Maîtrise des principales applications historiques (résolubilité des équations polynômiales, constructibilité des polygônes réguliers).

Acquis pratiques :

- Manipulation des structures algébriques fondamentales, calcul de degrés d'extensions.
- Détermination du caractère galoisien d'une extension.
- Calcul de groupes de Galois, notamment par réduction modulo p.
- Applications de la théorie, notamment en théorie des nombres et des corps.

* les modalités d'évaluations des acquis du module

Sont envisagés :

- un contrôle classant en fin du cours,

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

Objectifs pédagogiques

Acquérir les notions de base en algèbre
Etudier les extensions de corps et la théorie de Galois.
Applications à la résolution d'équations algébriques et à la constructibilité à la règle et au compas.

35 heures en présentiel (10 blocs ou créneaux)

Diplôme(s) concerné(s)

Parcours de rattachement

Pour les étudiants du diplôme Echanges PEI

Aucun prérequis

Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

Aucun prérequis

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

Vos modalités d'acquisition :

Devoir maison et examen final.

Le rattrapage est autorisé
    L'UE est acquise si note finale transposée >= C
    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

    Le coefficient de l'UE est : 10

    La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

    La note obtenue est classante.

    Pour les étudiants du diplôme Echanges PEI

    Vos modalités d'acquisition :

    Devoir maison et examen final.

    Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
      L'UE est acquise si note finale transposée >= C
      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

      Le coefficient de l'UE est : 10

      La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

      La note obtenue est classante.

      Programme détaillé

      Groupes, sous-groupes distingués. Permutations, groupe symétrique.
      Anneaux, idéal, corps. Anneau des polynômes.
      Algèbre, corps fini. Extensions galoisiennes, groupe de Galois.
      Extensions cyclotomiques, résolubilité par radicaux.
      Anneau des entiers, réduction modulo p.

      Mots clés

      algèbre, corps, groupe de Galois, extensions cyclotomiques
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