Descriptif
L’aléa joue un rôle déterminant dans des contextes variés et il est souvent nécessaire de le prendre en compte dans de multiples aspects des sciences de l’ingénieur, citons notamment les télécommunications, la reconnaissance de formes ou l’administration des réseaux.
Plus généralement, l’aléa intervient aussi en économie (gestion du risque), en médecine (propagation d’une épidémie), en biologie (évolution d’une population) ou en physique statistique (théorie des transitions de phases).
Dans les applications, les données observées au cours du temps sont souvent modélisées par des variables aléatoires corrélées dont on aimerait prédire le comportement. L’objet de ce cours est de formaliser ces notions en étudiant deux types de processus aléatoires fondamentaux en théorie des probabilités : les chaînes de Markov et les martingales. Des applications variées seront présentées pour illustrer ces concepts.
Référence bibliographique
"Promenade aléatoire: chaînes de Markhov et martingales", Thierry Bodineau (2023)
Niveau requis : Bonne connaissance du cours de tronc commun MAP361.
Modalités d'évaluation : Un contrôle classant à la fin du cours.
Diplôme(s) concerné(s)
Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux
Basics of probability
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Une bonne connaissance du cours de tronc commun MAP361 est requise.
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade réduitPour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Vos modalités d'acquisition :
Contrôle classant 3h (polycopié du cours autorisé pendant l'examen) : note sur 20
Bonus : 0,5 pour l'ensemble des QCM et 0,5 pour le DM
Le rattrapage est autorisé- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Le coefficient de l'UE est : 10
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
La note obtenue est classante.
Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux
Vos modalités d'acquisition :
Contrôle classant 3h (polycopié du cours autorisé pendant l'examen) : note sur 20
Bonus : 0,5 pour l'ensemble des QCM et 0,5 pour le DM
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Le coefficient de l'UE est : 10
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
La note obtenue est classante.
Programme détaillé
Plan du cours :
1 - Définition des chaînes de Markov et premières applications : équation de la chaleur, ruine du joueur, problème de Dirichlet.
2 - Mesures invariantes : définitions, propriétés et exemples.
3 - Classification des états des chaînes de Markov. Application à la dynamique des populations (processus de branchement) et aux graphes aléatoires.
4 - Théorème ergodique et convergence des chaînes de Markov.
5 - Algorithme stochastique de Hasting-Metropolis et recuit simulé. Applications en mécanique statistique et au traitement d'images.
6 - Martingales, temps d'arrêt et convergence.
7 - Applications des martingales aux processus de renforcement, algorithme de descente de gradient stochastique.
8 - Stratégies, arrêt optimal et théorie du contrôle stochastique.